Слово «собака» в контексте этого выражения обозначает понятие «репей». По суеверным понятиям древних людей для того, чтобы наслать на кого-то порчу, нужно было заговорить какой-нибудь предмет принадлежащий человеку, на которого насылают порчу, или любой другой предмет, который этот человек постоянно носит при себе.
Наверное у заговоров на порчу дальность действия была очень маленькая и надо было таскать всё время его на себе. С целью упрощения процесса порчи стали применять почки репейника, которые очень хорошо прикрепляются к одежде своими крючочками.
Технология порчи получилась очень простая: заговорил репей всякими нехорошими словами и вешай его на одежду своего обидчика. Чем больше «собак» навешаешь, тем больше возможных шансов на успех. Но в наших условия подобные методы успехом не пользуются и выражение «навешать всех собак» стало означать возложение на какого-нибудь человека ответственности за выполнение важного поручения.